狄利克雷卷积
定义
定义在数论函数间的一种二元运算，可这样定义: $$ \begin{align*} (fg)(n)=\sum_{xy=n}f(x)g(y)** *\end{align} $$ 也可写作 $$ \begin{align*} (fg)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac n d);** *\end{align} $$
补充
这里定义一些数论函数的符号
单位函数
幂函数,当时为恒等函数，当时为常数函数
除数函数,当 时为因数和函数,时为因数个数函数
数函数
如上的函数都是积性函数，即满足,且若互质，则有,其中前两个还是完全积性函数，即不需满足互质的条件也符合等式。
性质1
积性函数的狄利克雷卷积有一个重要的性质。
若是积性函数，则也是积性函数。
数论函数之间的关系
1.除数函数和幂函数
由定义，可以得到
所以，
即$$
2.欧拉函数和恒等函数
由上文的结论，可得到
，当时（为质数），有：
所以$$。
现在令，它可以分成,根据前文关于积性函数的定义，必然有$$。即：
其他性质
这时狄利克雷卷积的交换律.
证明:
同理，交换u,x,y，可得 $$ \begin{align*} &=\sum_{xy=n}\sum_{uv=y}f(x)g(u)h(v) &=\sum_{xy=n}f(x)\cdot(g*h)(y)** &=(f(g*h))n *\end{align} $$
得证.
这是狄利克雷卷积的分配律